fonction carré

définition:la fonction carré est

défeni sur /R de la forme :

f(x)=X²

 

 

 

 

Représentation graphique.

 

 

 

 

 

observations:

En arrivant au voisinage de 0, la courbe semble coller de plus en plus à l’axe des abscisses. On dit alors que l’axe des abscisses est la tangente à la courbe en 0.

 

Comportements de la fonction carrée.

 

Remplissons le tableau de valeurs suivant :

 

x	10	102	103	10n
f(x)	100	104	106	102.n

 

La morale de ce tableau de valeurs est que f(x) devient très grand lorsque x devient grand. On dit alors que f(x) tend vers + lorsque x tend vers + . On dit aussi que f a pour limite + en + .

 

C’est l’envolée de la courbe à ses extrémités que nous constations au paragraphe précédent.

 

Remplissons le tableau de valeurs suivant :

 

x	1	0,1	10-2	10-n
f(x)	1	0,01	10-4	10-2.n

 

La morale de ce tableau de valeurs est que f(x) devient très petit lorsque x devient petit. On dit alors que f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. On dit enfin que f a pour limite 0 en 0.

 

Variations de la fonction carrée.

Si l’on observe la première courbe, il semble que :

 

• f est décroissante avant 0 c’est-à-dire sur l’intervalle
  
• ]- ; 0].
• f est croissante après 0 c’est-à-dire sur l’intervalle 
• [0 ; + [.

Montrons ces deux choses !

 

Soient x et y deux réels positifs c'est-à-dire de l'intervalle

[0 ; +[, tels que x < y.

 

Par passage de cette inégalité au carré, il vient alors que : x² < y².

 

Autrement écrit, f(x) < f(y).

 

La fonction carrée est donc croissante sur [0 ; + [. Comme nous le supposions !

 

Comme de plus la fonction carrée est paire, il vient alors que f est aussi décroissante sur l'autre branche de , c'est-à-dire sur

]- ; 0].

 

Tableau de variation de la fonction carrée.

La conclusion de toute cette étude est le tableau de variation que voici :

 

 

bonne lécture

fonction inverse

Définition : La fonction inverse f est définie pour tout nombre réel différent de 0 par : f(x) =1/x
La fonction inverse est définie sur \{0} ou sur *.
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur ]-; 0[ et décroissante sur ]0 ; +[.
Son tableau de variations est le suivant :

 

 

Dans le tableau de variations, la double-barre sous 0 indique que la fonction n’est pas définie en 0.
La courbe représentative de la fonction inverse est la suivante :

 

Propriété : Dans un plan muni d’un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction inverse est une courbe appelée hyperbole.
La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Définition et propriété :  La représentation graphique de la fonction inverse est appelée Hyperbole. Elle est constituée de deux branches disjointes, et est symétrique par rapport à l’origine du repère. On dit que la fonction f est une fonction impaire.

 

 

 

elle est facile cette fonction non

fonction racine carré

Définition : La fonction racine carrée est la fonction qui à tout réel positif x associe le nombre réel positif noté dont le carré est x.
La courbe représentative d’une cette fonction est la courbe d’ équation y = .

La courbe représentative de cette fonction est une « moitié » de parabole.

 

Propriétés :

 

• Cette fonction est strictement croissante sur [ 0;+ [ voir à ce propos les théorème de rangement.
• La fonction racine carrée est une fonction positive .
• C’est une fonction ni paire ni impaire ( elle n’est pas définie sur un ensemble de nombres « symétrique » par rapport à 0 )
• Tout nombre réel strictement positif admet un seul antécédents par cette fonction ( son carré ) : l’équation = a avec a positif admet une solution positive a²
• Un nombre strictement négatif n’admet pas d’antécédents par cette fonction :
  l’équation = a avec a strictement négatif n’admet pas de solution.
• Propriétés algébriques
• Dérivée de la fonction racine carrée

Tableau de variation

bonne lecture

fonction cosinus

la fonction cosinus
La fonction cosinus est la fonction définie par :

 

cos : x cos(x).

 

Ensemble de définition.

 

Ayant un cercle orienté avec un repère direct, pour tout réel x, il existe un point M de ce cercle qui est associé à x (voir définition). Or dans tout repère, tout point a une abscisse. Tout réel x a un cosinus.

 

L’ensemble de définition de la fonction cosinus est donc .

 

 

Périodicité.

 

Nous pouvons affirmer que pour tout réel x,

 

cos(x + 2) = cos(x).

 

Donc, la fonction cosinus est 2-périodique.

 

Comme pour la fonction sinus, l’étude peut donc être réalisée sur un intervalle de longueur 2. Nous prendrons [- ; ].

 

 

Parité.

 

Une autre chose que nous savons, est que pour tout réel x,

 

cos(-x) = -cos(x).

 

Ainsi, la fonction cosinus est-elle aussi paire. Ce qui permet de réduire l’intervalle d’étude à la partie « positive » de [- ; ]. Cosinus sera donc étudiée sur l’intervalle [0 ; ].

 

 

Tracé de la courbe représentative.

 

Pour tracer la courbe, il nous faut une dizaine de valeurs connues du cosinus. Etablissons donc un tableau de celles-ci.

 

x	0 » 0,00 !	/6 » 0,52	/4 » 0,79	/3 » 1,05	/2 » 1,57	2 /3 » 2,09	3 /4 » 2,36	5 /6 » 2,62	» 3,14
cos(x)	1	/2 » 0,87	/2 » 0,71	0,5	0	-0,5	-/2 » -0,71	-/2 » -0,87	-1

 

Les cinq premières ainsi que la dernière valeur sont issues du tableau des valeurs remarquables du cosinus. Les trois autres réclament un mot de justification.

 

 

Tout cela grâce à la propriété : cos( -- x) = -cos(x).

 

A présent, on peut tracer la courbe de la fonction cosinus sur l’intervalle [- ; ].

 

 

Pour tracer sa courbe représentative sur l’intervalle [-7 ; 7], il suffit de reproduire la courbe par des translations horizontales de longueur 2. En effet, la fonction cosinus est 2-périodique. Ce qui donne :

 

 

 

Variations sur l’intervalle [0 ; ].

 

D’après la courbe, la fonction cosinus semble être décroissante sur l’intervalle [0 ; ]. Expliquons pourquoi il en est ainsi.

 

Soient x et x’ deux réels de cet intervalle tel que x < x'. On appelle M et M' les points du cercle trigonométrique asociés à ces deux réels. Trois cas sont alors possibles :

 

1er cas : x et x’ font partie de [0 ; /2]. Sur le cercle trigonométrique, on a alors la situation suivante :

 

2nd cas : x fait partie de [0 ; /2] et x’ fait partie de [/2 ; ]. La situation est alors la suivante :

 

3ème cas : x et x’ font partie de [/2 ; ]. Et alors…

 

Dans les trois cas, on remarque que l’abscisse du point M est supérieure à celle de M’. Autrement dit, cos(x) > cos(x’).

 

En résumé sur [0 ; ], si x < x' alors sin(x) > sin(x’).

 

La fonction sinus est donc décroissante sur [0 ; ].

 

Nous disposons de tous les éléments pour dresser le tableau de variation de sin sur [- ; ].

 

 

 

Tableau de variation.

 

La parité de la fonction cosinus et ses variations sur [0 ; ] nous permettent de dresser son tableau de variation sur [- ; ].

 

Comme la fonction cosinus est paire, étant décroissante sur [0 ; ], elle est donc croissante sur [- ; 0]. Ce qui nous donne le tableau de variation suivant :

fonction sinus

fonction sinus

 

La fonction sinus est la fonction définie par :

 

sin : x sin(x).

 

 

x	0 » 0,00 !	/6 » 0,52	/4 » 0,79	/3 » 1,05	/2 » 1,57	2 /3 » 2,09	3 /4 » 2,36	5 /6 » 2,62	» 3,14
sin(x)	0	0,5	/2 » 0,71	/2 » 0,87	1	/2 » 0,87	/2 » 0,71	0,5	0

 

Les cinq premières ainsi que la dernière valeur sont issues du tableau des valeurs remarquables du sinus. Les trois autres réclament un mot de justification.

 

 

Tout cela repose sur la propriété : sin( -- x) = sin(x).

 

A présent, on peut tracer la courbe de la fonction sinus sur l’intervalle [- ; ].

 

 

La fonction sinus étant 2-périodique, pour tracer sa courbe représentative sur l’intervalle [-7 ; 7], il suffit de reproduire la courbe par des translations horizontales de longueur 2 . On obtient alors la chose suivante.

 

 

 

Variations sur l’intervalle [0 ; ].

 

A observer sa courbe représentative, la fonction sinus semble être croissante avant /2 et décroissante après. Expliquons cela.

 

Sur l’intervalle [0 ; /2] : soient x et x’ sont deux réels de cet intervalle tels que x < x'.

 

On appelle M et M’ les points du cercle trigonométrique respectivement associés à ces réels. Ces points seront sur le quart de cercle en haut à droite. Représentons tout cela :

 

 

On remarque que le point M’ est plus « haut » que le point M. L’ordonnée de ce premier est donc supérieure à celle de ce dernier. Autrement sin(x’) (qui est y_M’) est supérieur à sin(x).

 

En résumé sur cet intervalle, si x < x' alors sin(x) < sin(x').

 

La fonction sinus est donc croissante sur [0 ; /2].

 

Sur l’intervalle [/2 ; ] : comme précédemment, on considère deux réels x et x’ tels que x < x'. M et M' sont toujours les points du cercle trigonométrique respectivement associés à ces réels. Ces points seront sur le quart de cercle en haut à gauche. Représentons tout cela :

 

 

On remarque que le point M’ est plus « bas » que le point M. L’ordonnée de l’un est donc inférieure à celle de l’autre. Ainsi sin(x’) < sin(x).

 

En résumé sur cet intervalle, si x < x' alors sin(x) > sin(x’).

 

La fonction sinus est donc décroissante sur [/2 ; ].

 

Nous disposons de tous les éléments pour dresser le tableau de variation de sin sur [- ; ].

 

 

 

Tableau de variation.

 

L’imparité de la fonction sinus et ses variations sur [0 ; ] nous permettent de dresser son tableau de variation sur [- ; ].

 

La fonction sinus étant impaire, nous pouvons affirmer que :

 

Comme elle est croissante sur l’intervalle [0 ; /2] alors elle est aussi croissante sur [-/2 ; 0].

 

Comme elle est décroissante sur [/2 ; ] alors elle est aussi décroissante sur [- ; /2].

 

 

Connaissant les variations de la fonction sinus sur [- ; ], il est facile de connaitre celles-ci sur n’importe quel autre intervalle.

 

avez vous bien compris